確率・組み合わせの計算（nCr・nPr・少なくとも1回の確率）
組み合わせ・順列・確率の使い分け
「順序を区別するか」「同じものを何度選べるか」で、使う式が変わります。選ぶ数のほかに、確率（少なくとも1回・n回中k回）も計算できます。
| 場面 | 順序を区別しない | 順序を区別する |
|---|---|---|
| 同じものは選べない（重複なし） | 組み合わせ nCr＝n!÷(r!×(n−r)!) | 順列 nPr＝n!÷(n−r)! |
| 同じものを何度でも選べる（重複あり） | 重複組み合わせ nHr＝(n+r−1)Cr | 重複順列 n^r |
例: 10人から3人を選ぶ（順序なし）は 10C3＝120通り、1位から3位まで順番をつけるなら 10P3＝720通りです。確率は「各回が独立で、確率が毎回同じ」とした計算で、少なくとも1回は 1−(1−p)^n、ちょうどk回は nCk×p^k×(1−p)^(n−k) です。
確率が1％のくじを100回くり返したとき、少なくとも1回起きる確率は63.3968％です。100回くり返しても、必ず起きるわけではありません。
使い方・計算のしかた
- 選び方: 「組み合わせ・順列」は n と r、「重複」は種類の数 n と個数 r、「少なくとも1回」は確率と回数、「n回中k回」は確率・回数・k を入れます。
- 正確さ: 整数は BigInt で正確に計算します。確率は分数のまま計算し、表示のときだけ有効6桁に四捨五入します。
- 上限: n・r・回数は 1000 まで、確率は小数4桁まで。r>n・負の数・小数（整数欄）はエラーです。
よくある質問
組み合わせ nCr の計算式は？
nCr＝n!÷(r!×(n−r)!) です。n個の中から順序を区別せずにr個を選ぶ選び方の数です。例えば10人から3人を選ぶ選び方は 10C3＝10×9×8÷(3×2×1)＝120通りです。rがnより大きいと選べないので、rはn以下で入れます（nCnとnC0はどちらも1です）。
順列と組み合わせの違いは？
順列 nPr は選んだ順序を区別する数、組み合わせ nCr は区別しない数です。nPr＝n!÷(n−r)! で、nPr＝nCr×r! の関係があります。10人から3人を選ぶのは 10C3＝120通りですが、1位・2位・3位と順番をつけて選ぶなら 10P3＝720通りです。
重複組み合わせ nHr と重複順列 n^r とは？
同じものを何度選んでもよい場合です。n種類から重複を許してr個選ぶ組み合わせが nHr＝(n+r−1)Cr、順序も区別するなら n^r 通りです。例えば3種類のアイスから5個選ぶ（同じ味を何個でもよい）のは 3H5＝7C5＝21通りで、5回選ぶ順序も区別するなら 3^5＝243通りです。この2つは、rがnより大きくても計算できます。
「少なくとも1回」の確率はどう計算しますか？
起きる確率がpの試行をn回くり返して少なくとも1回起きる確率は、1回も起きない確率を1から引いて 1−(1−p)^n です。例えば確率1％を100回くり返すと、少なくとも1回起きる確率は63.3968％です（残りの36.6032％は100回とも起きません）。100回くり返せば必ず起きるわけではありません。各回は独立で、確率が毎回同じという前提の計算です。
n回中k回起きる確率（二項分布）は？
ちょうどk回起きる確率は nCk×p^k×(1−p)^(n−k) です。例えばコインを10回投げてちょうど5回表になる確率は、p＝50％として 24.6094％ です（10C5＝252通り×(1/2)^10）。このページはk回以上・k回以下の確率と、起きる回数の期待値 n×p も出します。
どこまでの大きさを計算できますか？
n・r・回数は1000までです。階乗や nCr は桁が大きくなりますが、整数のまま正確に計算し、全桁を桁区切りで、あわせて有効6桁の指数表記でも出します（例: 1000! は2,568桁）。確率pは0〜100％で小数4桁までです。確率の表示は有効6桁に四捨五入しています。小数・負の数・上限を超える数はエラーにして、四捨五入はしません。
この計算の前提は？
確率の計算は、各回が独立で、起きる確率が毎回同じ（くじを引いたら元に戻す）という前提です。引いたものを戻さない場合（超幾何分布）は、このページの確率では計算できません。ガチャなどの確率は、提供元が表示する値の前提（天井・保証など）で変わることがあります。
2026年10月6日現在の情報です（データ最終更新: 2026年10月4日）。出典: 文部科学省 高等学校学習指導要領 数学（数学A「場合の数と確率」: 順列・組合せ・反復試行の確率。取得日 2026-10-04）
